树与二叉树

在了解二叉树之前，我们要先了解树的一些概念，方便我们对二叉树的理解。

什么是树？

树(英语:tree)是一种抽象数据类型(ADT)或是实作这种抽象数据类型的数据结构,用来模拟具有树状结构性质的数据集合。

它是由n(n>=1)个有限节点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树,也就是说它是根朝上,而叶朝下的。它具有以下的特点:

每个节点有零个或多个子节点;

没有父节点的节点称为根节点;

每一个非根节点有且只有一个父节点;

除了根节点外,每个子节点可以分为多个不相交的子树;

树的术语：

节点的度: 一个节点含有的子树的个数称为该节点的度;

树的度: 一棵树中,最大的节点的度称为树的度;

根结点： 树的最顶端的节点，继续往下分为子节点

父节点： 子节点的上一层为父节点

兄弟节点： 具有同一个父节点的节点称为兄弟节点

叶子节点/终端节点： 不再有子节点的节点为叶子节点

二叉树：

二叉树是树的特殊一种，具有如下特点：

每个节点最多有两个子树，节点的度最大为2

左子树和右子树是有顺序的，次序不能颠倒

即是某节点只有一个子树，也要区分左右子树

二叉树的性质：

在非空二叉树的第i层，最多有2i-1个节点(i>=1)

在深度为K的二叉树上最多有2k-1个节点(k>.1)

对于任意一个非空的二叉树，如果叶子节点个数为n0，度数为2的节点数为n2，则有n0=n2+1

推倒过程：在一棵二叉树中，除了叶子节点（度为0）外，就剩下度为2(n2)和度为1(n1)的节点了。则树的节点总数为T = n0 + n1 + n2；在二叉树中节点总数为T，而连线总数为T-1 = 2*n2 + n1，所以就有：n0 + n1 + n2 – 1 = 2 *n2 + n1，得到n0=n2+1。

特殊的二叉树

满二叉树

在二叉树中除了叶子节点，其他所有节点的度为2，且所有的叶子节点都在同一层上，这样的二叉树成为满二叉树。

满二叉树的特点：

叶子节点只能出现在最下一层

非叶子节点度数一定为2

在同样深度的二叉树中，满二叉树的节点个数最多，叶子节点数最多

完全二叉树

如果二叉树中除去最后一层叶子节点后为满二叉树，且最后一层的叶子节点依次从左到右分布，则这样的二叉树称为完全二叉树

完全二叉树的特点：

叶子节点一般出现在最下一层，如果倒数第二层出现叶子节点，一定出现在右部连续位置

最下层叶子节点一定集中在左部连续位置

同样节点的二叉树，完全二叉树的深度最小（满二叉树也对）

小例题：

某完全二叉树共有200个节点，该二叉树中共有（）个叶子节点？

解：n0 + n1 + n2 = 200， 其中n0 = n2 + 1，n1 = 0或者1 （n1=1，出现在最下一层节点数为奇数，最下一层节点数为偶数，则n1=0）， 因为n0为整数，所以最后算得n0 = 100。

完全二叉树的性质：

具有n个节点的完全二叉树的深度为log2n+1。log2n结果取整数部分。

如果有一棵有n个节点的完全二叉树的节点按层次序编号，对任一层的节点i(1 <= i <= n)

1. 如果i=1，则节点是二叉树的根，无父节点，如果i>1,则其父节点为i/2，向下取整

2. 如果2*1>n，那么节点i没有左孩子，否则其左孩子为2i

3. 如果2i+1>n那么节点没有右孩子，否则右孩子为2i+1

验证：

第一条：

当i=1时，为根节点。当i>1时，比如结点为7，他的双亲就是7/2= 3；结点9双亲为4.

第二条：

结点6,62 = 12>10，所以结点6无左孩子，是叶子结点。结点5，52 = 10，左孩子是10,结点4，为8.

第三条：

结点5，2*5+1>10,没有右孩子，结点4，则有右孩子。